07 · 点积：朝向、投影与有效分量

1. 为什么分量相乘再相加

设 a、b 是同一正交归一坐标系中的向量，即三个基向量两两垂直且长度为 1。点积有两个等价表达：

a\cdot b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=\|a\|\|b\|\cos\theta

第一种适合计算，第二种解释几何意义。二维只需去掉 z 项。可以从余弦定理理解等价性：一方面展开 |a-b|² 得到 |a|²+|b|²-2Σaᵢbᵢ；另一方面余弦定理给出 |a|²+|b|²-2|a||b|cosθ，对比即可得到公式。

向量长度非零时，点积正表示夹角小于 90°，零表示垂直，负表示超过 90°。零向量与任何向量点积都是零，但它没有方向，不能据此说它拥有一个确定的直角朝向。

2. 拉行李：朝前的有效作用有多少

假设你用大小 10 N、与地面前进方向成 60° 的力拉行李。前进单位方向为 u，拉力为 F，则：

F\cdot u=\|F\|\cos60^\circ=5\text{ N}

这个数是带符号的标量投影：沿 u 方向的力为正，反向为负。拉力在该方向上的向量分量是 (F·u)u。

import * as THREE from 'three';

const forward = new THREE.Vector3(1, 0, 0);
const force = new THREE.Vector3(5, 5 * Math.sqrt(3), 0);
const usefulForce = force.dot(forward); // 5
const forwardForce = forward.clone().multiplyScalar(usefulForce);

如果行李水平前进 3 米，力做的功是 F·displacement = 15 J。这里位移无需归一化，因为长度本来就应该参与结果。由此可见，“点积前总要归一化”是错误规则；是否归一化取决于你想保留什么物理量。

对于非单位向量 b，a 在 b 上的投影为：

\operatorname{proj}_b(a)=\frac{a\cdot b}{b\cdot b}b

分母抵消 b 的长度影响；b 为零时几何投影方向未定义，需要业务约定。

3. 角色视野：通常不需要 acos

角色世界前向 f 为单位向量，角色到目标的世界位移为 d。视野总角度 90° 意味着中心线左右各 45°。比较余弦即可，无须先转换成角度：

const offset = new THREE.Vector3();
function inView(actorWorld, forwardWorld, targetWorld, range, fullFov) {
  offset.subVectors(targetWorld, actorWorld);
  const distanceSq = offset.lengthSq();
  if (distanceSq > range * range) return false;
  if (distanceSq < 1e-12) return true; // 本例约定：重合算在范围内
  if (forwardWorld.lengthSq() < 1e-12) return false;
  const cosine = forwardWorld.dot(offset) /
    Math.sqrt(forwardWorld.lengthSq() * distanceSq);
  return cosine >= Math.cos(fullFov / 2);
}

输入角度使用弧度，范围非负，总视角应在业务允许区间内。上面判断的是三维圆锥；如果只限制水平视野，应先将方向投影到水平面，并处理投影后长度为零的情况。它也不检查墙壁遮挡。

求真正的夹角时才用 Math.acos(clamp(cosine,-1,1))。浮点计算可能让理论上为 1 的值变成 1.0000000000000002，不钳制会得到 NaN。

4. 光照：面向光的表面为什么更亮

单位法线 n 与从表面指向光源的单位方向 l 同向时，一块表面接收的入射能量最多；斜过来时有效投影面积减少。简化 Lambert 漫反射项是：

I=\max(n\cdot l,0)

vec3 normalUnit = normalize(vNormalView);
vec3 towardLight = normalize(lightPositionView - vPositionView);
float diffuse = max(dot(normalUnit, towardLight), 0.0);

两者必须在相同空间。方向若改为“光线传播方向”，需要取反再点积。varying 插值后的法线通常不是单位长度，因此片元阶段还要归一化。本式只是方向项，不包括材质能量守恒、距离衰减、阴影和颜色管理。

5. 日常选用规则

要判前后，通常只看点积符号；要判视角，比较归一化点积与余弦阈值；要取得沿某方向的速度，点积单位方向；要算做功，保留力与位移的实际长度。点积回答“有多少沿着另一个方向”，并不会提供三维空间中的左右符号。

练习（不附答案）

拉力 20 N，与前进方向夹角 30°，位移 4 米，分别求前向力和做功，并说明单位。
实现水平视野检测，处理目标正好在角色头顶的情况。
给定 n=(0,1,0)，分别计算上方、侧方、下方光源的简化漫反射项。
构造两个长度不同、方向相同的向量，说明直接把原始点积当余弦为什么错误。